수학
개별적으로는 반드시 지는 두 게임이라도, 교대로 플레이하면 이기는 전략이 될 수 있다. 한 게임의 결과가 다른 게임의 조건에 영향을 미쳐 유리한 순간만 골라낼 수 있기 때문이다. 이를 '파론도의 역설'이라 한다.
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같은 크기의 정육면체 두 개가 있을 때, 한쪽에 구멍을 잘 뚫으면 다른 정육면체가 그 구멍을 통과할 수 있다. 공간 대각선에 평행하게 뚫으면 약 6% 더 큰 정육면체도 통과 가능하며, 이를 '루퍼트 성질'이라 한다.
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'잠자는 미녀 문제'는 수학자와 철학자들 사이에서 답이 갈리는 유명한 확률 역설이다. 동전이 앞면이면 미녀를 1번, 뒷면이면 2번 깨우되 기억을 지운다. 깨어난 미녀에게 앞면일 확률을 물으면, 1/2이라는 파와 1/3이라는 파가 팽팽히 맞서며 두 답 모두 논리적으로 타당하다.
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그레이엄수는 간단한 수학 문제의 답에서 나온 수이지만, 우주의 모든 원자에 한 자릿수씩 적어도 다 적을 수 없을 만큼 크다. 우주를 우주의 원자 개수만큼 가져와도 이 수를 다 적기에 부족하다.
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발생 확률 0.1%인 재난에 정확도 99%인 경보를 설치하면, 1만 일 중 경보가 울리는 약 110일 가운데 100일은 오경보다. 90% 이상이 오경보인 셈이지만, 그렇다고 경보를 무시하면 정확도 99%인 경보를 놓치는 것이다. 직관과 확률이 어긋나는 '기저율 오류'의 대표적 사례다.
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경제학자 케네스 애로우는 박사논문에서, 3개 이상의 후보가 있을 때 공정하고 민주적인 투표 시스템이 충족해야 할 기본 조건들을 동시에 만족시키는 방법은 존재하지 않음을 수학적으로 증명하였다. 이 '불가능성 정리'로 그는 노벨경제학상을 수상하였다.
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한국 술 게임 '더 게임 오브 데스'에서는 각자 한 명을 손가락으로 지목한 뒤, 주최자가 숫자를 외쳐 그만큼 지목을 따라간 사람이 진다. 주최자가 참여 인원보다 큰 소수를 부르면 절대 지지 않는데, 지목 고리가 주최자에게 돌아오려면 고리 길이가 부른 수의 약수여야 하기 때문이다.
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'소파 옮기기 문제(Moving Sofa Problem)'는 폭이 1인 직각 복도를 통과할 수 있는 가장 넓은 소파의 형태를 찾는 60년 된 수학 난제였다. 2024년 한국인 수학자 백진언이 넓이 약 2.2195의 '게르버 소파'가 최대임을 컴퓨터 없이 순수 수학적 논증만으로 증명하여, 사이언티픽 아메리칸이 선정한 '2025년 10대 수학 혁신'에 이름을 올렸다.
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바둑, 체스, 오목 같은 게임에는 절대 지지 않는 전략이 수학적으로 존재함이 증명되어 있다(체르멜로 정리). 다만 이 정리는 그런 전략이 존재한다는 사실만 증명할 뿐, 그 전략이 무엇인지는 알려주지 않는다. 오목의 경우 선공의 필승법이 실제로 밝혀져 있어, 국제 대회에서는 별도의 룰로 경기한다.
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정사각형 17개를 큰 정사각형 하나에 넣을 때, 깔끔하게 정렬하는 것보다 비뚤비뚤 기울여 넣는 것이 수학적으로 더 효율적이다. 아직 최적해로 증명되지는 않았지만, 현재까지 알려진 가장 효율적인 배치는 매우 추한 형태이다.
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클로드 섀넌이 제시한 '섀넌의 도깨비' 모델에 따르면, 하루는 50% 오르고 하루는 33% 떨어지는 시장에 만 원을 넣어 두면 1년 후 그대로 만 원이다. 그러나 매번 재산의 절반만 투자하면 같은 시장에서 1년 후 약 1,765만 원이 된다.
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자연수, 정수, 유리수의 개수는 모두 같은 크기의 무한이다. 하지만 무리수는 이들보다 셀 수 없을 만큼 더 많다. 19세기 수학자 게오르크 칸토어가 이를 증명하였으며, 수직선에 무작위로 점을 찍으면 그 점이 유리수일 확률은 0이다.
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도로를 새로 뚫었는데 오히려 교통이 느려지는 현상을 '브라에스의 역설'이라 한다. 모든 운전자가 자신에게 유리한 경로를 선택하면 전체가 느려질 수 있다. 실제로 1999년 서울 남산 2호터널 폐쇄 시 서울 전체 도로 평균 속도가 오히려 증가하였다.
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란체스터 제곱 법칙에 의하면, 동일 조건에서 500명이 1,300명과 전투하면 500명은 겨우 100명만 죽이고 전멸한다. 수적 열세는 단순한 뺄셈보다 훨씬 치명적이기 때문에, 적을 분리하여 각개격파하는 것이 불리한 전투의 핵심 전략이다.
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스마트폰 앱 아이콘의 모양은 모서리를 둥글게 깎은 사각형이 아니라 '스쿼클(Squircle)'이라는 수학적 곡선이다. |x|⁴ + |y|⁴ = r⁴로 정의되는 초타원의 일종으로, 모서리만 둥근 것보다 전체적으로 더 부드러운 인상을 준다.
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고속도로와 철도의 커브길은 원호가 아니라 '클로소이드(Clothoid)'라는 특수한 곡선으로 설계된다. 곡률이 점진적으로 변하기 때문에, 직선에서 곡선으로 진입할 때 원심력이 갑자기 생기지 않고 서서히 증가한다.
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한쪽 눈을 감고 엄지를 세워 먼 물체에 맞춘 뒤 다른 눈으로 바꾸면 엄지가 이동한 것처럼 보인다. 이때 물체가 옮겨 보이는 거리에 10을 곱하면 물체까지의 실제 거리가 된다. 사람의 양안 거리와 팔 길이의 비가 약 1:10이기 때문이다.
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제곱근을 빠르게 어림하는 방법이 있다. 가장 가까운 완전제곱수를 찾고, 그 제곱근에 차이를 제곱근의 2배로 나눈 값을 더하면 된다. 예를 들어 √17은 √16 = 4에 (17−16)÷(4×2) = 0.125를 더해 4.125가 된다. 실제 값 4.123과 거의 같다.
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'72의 법칙'을 이용하면 복리 계산을 쉽게 어림할 수 있다. 72를 이자율(%)로 나누면 돈이 2배가 되는 데 걸리는 시간이 나온다. 예를 들어 연 6% 복리라면 72 ÷ 6 = 약 12년 만에 원금이 2배가 된다. 실제 계산하면 2.012배로, 정확도가 매우 높다.
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1982년 SAT에 출제된 원 회전 문제에서 30만 명의 수험생 중 단 3명만이 정답을 맞혔다. 출제자마저 답을 틀려 정답이 보기에 없었고, 재채점이 이루어졌다. 이 문제의 핵심은 '동전 회전 역설'로, 한 원이 같은 크기의 원 둘레를 굴러가면 1바퀴가 아닌 2바퀴를 돈다.
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1939년 미국의 수학자 조지 댄치그는 수업에 지각해 칠판에 적힌 문제를 과제로 착각하고 풀어 제출했다. 교수가 깜짝 놀란 이유는, 그것이 과제가 아니라 통계학의 미해결 문제였기 때문이다. 이 일화는 훗날 영화 '굿 윌 헌팅'에 영감을 주었다.
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2011년 4chan의 익명 유저가 애니메이션 '스즈미야 하루히의 우울'의 14화를 가능한 모든 순서로 보려면 최소 몇 화가 필요한지 계산하다가, 수학 미해결 문제인 초순열의 최소 길이 하한을 증명해 버렸다. 이 증명은 7년간 묻혀 있다가 2018년에야 수학자에 의해 발견되었다.
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